Franz Alexander war der Sohn des Bücherrevisors Moritz Alexander und seiner Ehefrau Selma, geb. Poetzsch. Er wurde durch seinen Vater im jüdischen Glauben erzogen – die Mutter war Protestantin – und gehörte der Israelitischen Kultusgemeinde an. Wie schon sein Vater war Franz Alexander von Beruf Bücherrevisor. 1938 wurde ihm die Ausübung des Berufs endgültig verboten. Weil er die Beziehung zu seiner langjährigen nichtjüdischen Lebensgefährtin nicht beendet hatte, wurde Franz Alexander im November 1939 verhaftet. Auf Grundlage der Nürnberger Rassegesetze verurteilte das Landgericht Dessau ihn am 15. Januar 1940 wegen „Rassenschande“ zu drei Jahren Zuchthaus. Noch vor Ende der Haftzeit in der Strafanstalt Coswig/Anhalt wurde er im Juli 1942 der Geheimen Staatspolizei in Magdeburg zugeführt, die ihn zum „Abtransport nach dem Osten“ bestimmte. Wohin Franz Alexander deportiert wurde und in welchem Lager er verstarb, ist nicht bekannt.